Pernyataan majemuk yang ekuivalen

1. Pernyataan majemuk yang ekuivalen adalah pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen atau senilai adalah

 

2. Legaci atau ingkaran pernyataan majemuk

a. ~(p∧q) = ~p v ~q
Contoh:
Andi pandai dan ia naik kelas
~(p∧q) = ~p v ~q
  P:andi pandai
~p:andi tidak pandai
  q:ia naik kelas
~q:ia tidak naik kelas

Ingkarannya adalah andi tidak pandai atau ia tidak naik kelas

b. ~(p v q) = ~p∧~q
Contoh:
8 habis dibagi 3 atau harga minyak naik
~(p v q) = ~p∧~q

Ingkarannya adalah 8 tidak habis dibagi 3 dan harga minyak tidak naik

c. ~(p ➡ q) = ~p∧~q
Contoh:
Jika semua anak lulus ujian maka beberapa anak akan gundul
~(p ➡ q) = ~p∧~q

Kesimpulannya adalah semua anak lulus ujian dan semua anak tidak akan gundik

d. ~(p ↔ q) = (p∧~q) v (q ∧~p)
Contoh:

~(p ↔ q) = (p∧~q) v (q ∧~p)

3. Suatu kalimat terbuka dapat dirubah menjadi pernyataan yaitu pernyataan berkuantor. ada 2 macam kuantor, yaitu:

A. a. Kuantor universal
- ∀X, p (X) dibaca semua/setiap X bersifat p (X)

- ∃X, p (X) dibaca ada/ terdapat/ beberapa bersifat p (X)
CONTOH SOAL:
misalnya semesta pembicaraan kelas x
    X = siswa kelas x

p(X)= siswa yang membeli pulpen

q(X)= siswa yang membeli penghapus

∀X, p(X): semua siswa kelas x yang membeli pulpen

- dia bernilai benar apabila semua sisiwa kelas x membeli pulpen

-dia bernilai salah kalau ada siswa x tidak membeli pulpen walaupun hanya satu orang

- ∃X, q(X): terdapat siswa kelas x yang membeli pulpen
-dia bernila benar kalau terdapat siswa kelas x membeli penghapus walaupun hanya satu orang

-dia bernila salah jika tidak ada sama sekali siswa kelas x yang membeli penghapus

B. Ingkaran pernyataan berkuantor

~(∀X, p(X)) =∃ X,~p (X)

~(∃X, p (X)) =∀ X ,~p (X)

Contoh soal:
Tent. Ingkaran dari pernyataan berikut
1. Semua pengendara mempunyai SIM

2. beberapa bil. asli adalah bil. Prima

3. Setiap segitiga siku siku memenuhi rumus phytagoras

Jawab

1. ~(∀X, p(X)) =∃ X,~p (X)

Beberapa pengendara tidak mempunyai SIM

2. ~(∃X, p (X)) =∀ X ,~p (X)

Semua bil. Asli bukan bil. Prima

3. ~(∀X, p(X)) =∃ X,~p (X)

Terdapat segitiga siku siku tidak memenuhi rumus phytagoras

Logika matematika dan rumus

A.logika matematika
- Logika matematika merupakan salah satu materi pelajaran matematika dan cabang logika yang mengandung kajian matematis logika. Secara matematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.
- logika matematika adalah suatu ilmu yang mempunyai aturan penalaran yang betul dan sah dengan menggunakan bahasa matematika
1.pernyataan (kalimat deklaratif)
  Pernyataan adalah kalimat yg sudah mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah, tetapi tidak sekaligus. Benar atau salah)
  CONTOH:
a. Ibukota negara indonesia adalah jakarta
(Pernyataan bernilai benar)
b. gajah madah adalah gubernur sulawesi tenggara
(Pernyataan bernilai salah)
c. budi adalah anak yg rajin
(Bukan pernyataan karena rajin itu bersifat relatif)
d. Rumah budi jauh dari sekolah
(Bukan pernyataan karena jauh itu relatif)
2. Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya karena masih memuat nilai variabel
  CONTOH
2 + X = 8
bernilai benar jika nilai X = 6 dan karena 2 + 6 = 8
Bernilai salah jika X = 2 karena 2 + 2 = 6
3. Negasi / ingkaran
Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang " ~ " yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan bumi adalah bulat maka negasinya adalah bumi tidak bulat.
CONTOH soal
  P:dia bukan seorang pemulung
~p:dia seorang pemulung
  P:segi tiga mempunyai 3 sisi
  P:piranha merupakan ikan laut
~P:piranha bukan merupakan ikan laut

B. Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika :
a. Konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan" atau disimbolkan dengan "∧". Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.

b. Dijungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" yang disimbolkan dengan "∨". Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.

.

c. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung "maka" yang disimbolkan dengan "→". Misal p → q dibaca jika p maka q.

d. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti "jika dan hanya jika" dan disimbolkan dengan "↔". Misal p ↔ q dibaca p jika dan hanya jika q

f. Negasi / ingkaran
Ingkaran merupakan pernyataan yang berlawanan misalnya "p  ~p", dan "q  ~q".

contoh soal:

Ket:

B = benar

S =salah '